Всеволод Чабанець
Чи зможете ви розв’язати цей приклад правильно без калькулятора? На перший погляд вираз 9 × 4 : 4 × 9 здається елементарним. У ньому немає дужок, дробів чи великих чисел, тому більшість людей очікує на очевидну відповідь. Проте саме такі завдання часто провокують помилки, адже увага зосереджується не на правилах обчислення, а на бажанні якомога швидше отримати результат.
Правильна відповідь залежить від того, як саме читати запис і яких математичних правил дотримуватися. Якщо сприймати вираз як послідовність дій з множенням і діленням, результат буде одним. Якщо ж подумки об’єднати частини у два добутки та поділити один на інший, можна отримати зовсім інше число. Саме тому приклад 9 × 4 : 4 × 9 став популярною перевіркою уважності.
Як правильно виконувати множення та ділення
У математиці існує чіткий порядок виконання арифметичних дій. Спочатку обчислюють вирази в дужках, потім виконують множення та ділення, а після цього — додавання й віднімання. Однак важливо пам’ятати: множення і ділення мають однаковий пріоритет. Якщо вони стоять поруч, їх виконують не «спочатку множення, а потім ділення», а зліва направо.
Розглянемо наш приклад саме за цим правилом:
9 × 4 : 4 × 9
Першою є дія, розташована ліворуч: 9 помножити на 4. Отримуємо 36. Далі ділимо 36 на 4 — виходить 9. Останній крок — множення 9 на 9. У результаті маємо:
9 × 4 = 36
36 : 4 = 9
9 × 9 = 81
Отже, якщо вираз записаний саме в такому вигляді, без дужок, його стандартне значення дорівнює 81. Це не випадкова відповідь і не результат особливого способу рахування. Вона випливає з основного правила: дії однакового рівня виконують послідовно зліва направо.
Чому дехто отримує одиницю
Помилка виникає тоді, коли людина автоматично групує множники. Вона може подумати, що запис означає ділення добутку 9 × 4 на добуток 4 × 9:
(9 × 4) : (4 × 9)
У такому разі чисельник дорівнює 36, знаменник також дорівнює 36, а відповідь справді буде 1. Проте дужки змінюють структуру виразу. У початковому записі їх немає, тому не можна самостійно додавати їх у зручному місці.
На практиці плутанину посилює те, що в усному мовленні люди часто кажуть: «дев’ять помножити на чотири, поділити на чотири, помножити на дев’ять». Така фраза читається послідовно, і тоді легко отримати 81. Але візуально однакові числа 4 та 9, розташовані по обидва боки знака ділення, створюють ілюзію взаємного скорочення.
Скорочення можливе лише тоді, коли вираз оформлений як дріб або має зрозумілі дужки. Наприклад, у конструкції (9 × 4) : (4 × 9) можна скоротити однакові множники й отримати 1. У записі 9 × 4 : 4 × 9 така дія не є коректною, якщо ми дотримуємося стандартного правила обчислення зліва направо.
Як не помилятися у подібних прикладах
Щоб правильно розв’язувати короткі арифметичні вирази, не варто покладатися лише на інтуїцію. Навіть простий приклад краще розкласти на окремі кроки. Спочатку знайдіть усі дії множення та ділення, а потім прочитайте їх у напрямку зліва направо. Якщо між ними немає дужок, не потрібно переставляти числа або об’єднувати їх у нові групи.
Корисно також переписувати складний на вигляд вираз із проміжними результатами. У нашому випадку це виглядає так:
9 × 4 : 4 × 9 = 36 : 4 × 9 = 9 × 9 = 81.
Такий запис одразу показує послідовність дій і не залишає місця для довільного трактування. Якщо ж автор завдання хотів отримати одиницю, йому потрібно було записати вираз інакше: (9 × 4) : (4 × 9). Дужки в математиці потрібні саме для того, щоб чітко визначати порядок обчислень.
Є ще один спосіб уникати помилок — не виконувати кілька дій подумки одночасно. Спочатку обчисліть першу пару чисел, зафіксуйте результат, потім переходьте до наступної дії. Така звичка особливо корисна під час контрольних робіт, тестів і повсякденних розрахунків, коли через поспіх можна неправильно прочитати навіть знайоме правило.
Варто звернути увагу і на позначення. Двокрапка в цьому прикладі означає ділення. Знак множення може бути записаний як «×», крапка або взагалі бути пропущеним у деяких алгебраїчних виразах. Незалежно від позначення, множення та ділення залишаються діями однакового пріоритету. Вирішальне значення має їхнє розташування та наявність дужок.
Отже, приклад 9 × 4 : 4 × 9 перевіряє не швидкість усного рахунку, а знання порядку виконання арифметичних дій. За стандартним математичним правилом потрібно рухатися зліва направо: помножити 9 на 4, поділити результат на 4 і потім помножити на 9. Остаточна відповідь — 81.
А число 1 з’являється лише в іншій інтерпретації, коли вираз подумки перетворюють на відношення двох добутків. Щоб уникнути подвійного трактування, у складніших прикладах завжди використовуйте дужки. Вони роблять математичний запис однозначним, а правильне рішення — простим і зрозумілим.